Задача 115575

Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей.

Решение

Пусть CD — высота равнобедренного тругольника ABC со сторонами AC=BC=13 и AB=24 , O — центр его описанной окружности радиуса R , Q — центр вписанной окружности радиуса r . Из прямоугольного треугольника ACD находим, что

CD===5,

sin CAD = =.
По теореме синусов
R=== 16,9.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, делённой на его полупериметр, поэтому
r= = = =2,4.

Заметим, что угол CAD меньше 45^o , т.к. его тангенс меньше 1 ( tg CAD = =<1 ), значит, угол ACB — тупой, поэтому точки O и Q лежат по разные стороны от прямой AB . Следовательно,
OQ=OC-CQ=OC-(CD-QD)=R-(CD-r)=16,9-(5-2,4)=14,3.

Ответ

16,9 ; 2,4 ; 14,3 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3306