ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115861
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольник ABC вписан ромб CKLN так, что точка L лежит на стороне AB, точка N – на стороне AC, точка K – на стороне BC. Пусть O1, O2 и O – центры описанных окружностей треугольников ACL, BCL и ABC соответственно. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ANL и BKL, отличная от L. Докажите, что точки O1, O2, O и P лежат на одной окружности.


Решение

Очевидно, что CL – биссектриса, а прямые LN, LK параллельны сторонам BC, AC. Поэтому  ∠AO1L = 2∠ACL = ∠C = ∠ANL,  то есть точка O1 лежит на описанной окружности треугольника ANL и является серединой дуги ANL этой окружности. Следовательно,  O1PL = π – ∠O1AL = ½ (π + ∠C).  Аналогично  ∠O2PL = ½ (π + ∠C).  Значит,  ∠O1PO2 = π – C.  Но угол O1OO2 также равен  π – ∠C,  потому что прямые OO1, OO2 являются серединными перпендикулярами к AC и BC (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2009
Класс
Класс 10
задача
Номер 10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .