Задача 116104

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Расстояние между параллельными прямыми равно . На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , равен . Найдите AB .

Решение

Заметим, что либо AC=BC , либо AC=AB .
Рассмотрим первый из этих случаев (рис.1). Пусть M и H — точки касания вписанной окружности треугольника ABC с боковой стороной AC и основанием AB , O — центр вписанной окружности. Тогда CH — высота, медиана и биссектриса треугольника ABC . Обозначим ACH = α . В прямоугольном треугольнике COM известно, что

OM=, OC=CH-OH=-= , sin α = = =.
Тогда
cos α = , tg α = , AH=CH tg α = · =4.
Следовательно AB=2AH=8 .
Рассмотрим второй случай (рис.2). Пусть K , L и N точки касания вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC с боковыми сторонами AB , AC и основанием BC соответственно, CH= — высота треугольника ABC , OK=OL=ON=r= — радиус его вписанной окружности. Обозначим BK=BN=CN=CL=a , AK=AL=b , ABC= BCA= β . Тогда
S_{Δ ABC}=AB· CH = (a+b), S_{Δ ABC}=(AB+AC+BC)· r= (2a+b).
Из равенства (a+b)=(2a+b) получаем, что a=4b . Из прямоугольного треугольника ABN находим, что
cos β = ===.
Тогда
sin β=, ctg == =3.
Наконец, из прямоугольного треугольника BOK находим, что
a=BK=OK ctg β = · 3 = 8.
Следовательно,
AB=a+b=a+a=8+2=10.

Ответ

8 или 10 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6147