Задача 116116

Темы:    [ Композиции поворотов ] [ Композиции симметрий ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360^o , является поворотом.
В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота?
Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360^o .

Решение

Пусть A и B — центры данных поворотов R^α_A и R^β _B на углы α и β соответственно. Если A и B совпадают, то утверждение задачи очевидно.
Пусть A и B различны. Обозначим через l прямую AB . Через точки A и B проведём прямые a и b соответсвенно, образующие с прямой l углы и . В первом случае считаем угол от a к l ( (a,l) = ) , во втором — от l к b ( (l,b) = ) .
Представим первый поворот в виде композиции симметрий относительно прямых a и l , т.е. R^α_A = S_lo S_a . Аналогично R^β_B = S_bo S_l . Тогда композицию данных поворотов можно записать в виде

R^β _Bo R^α _A = (S_bo S_l)o ( S_lo S_a) = S_bo ( S_lo S_l)o S_a = S_bo S_a.
Известно, что композиция симметрий относительно пересекающихся прямых есть поворот вокруг их точки пересечения на угол, равный удвоенному углу между этими прямыми. Следовательно, если прямые a и b не параллельны, то S_bo S_a есть поворот вокруг точки C пересечения прямых a и b на угол, равный удвоенному углу между прямыми a и b ( от a к b) , т.е.
2( + ) = α + β.
Поскольку композиция симметрий относительно двух параллельных прямых есть параллельный перенос, то в случае, когда прямые a и b окажутся параллельными (т.е. когда + кратно 180^o) , искомая композиция есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном a и b , переводящий прямую a в прямую b .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6710