|
|
 |
Условие
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём высотой такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.
Решение
Пусть из отрезков, перпендикулярных сторонам шестиугольника ABCDEF можно составить треугольник. Тогда этот треугольник равен треугольнику AA1A2, где A1 и A2 – проекции точки A на прямые CD и DE соответственно (см. рис. слева). Последний треугольник вписан в окружность с диаметром AD. Aналогично получаем, что две другие главные диагонали шестиугольника равны этому диаметру, то есть AD = BE = CF. Cледовательно, AB и DE являются основаниями равнобокой трапеции (или прямоугольника) и поэтому имеют общий серединный перпендикуляр. Этот серединный перпендикуляр совпадает с биссектрисой угла между прямыми AD и BE, то есть проходит через центр O окружности, вписанной в треугольник, образованный главными диагоналями. Cерединные перпендикуляры к остальным сторонам шестиугольника также проходят через точку O, следовательно вокруг шестиугольника ABCDEF можно описать окружность.
Пусть теперь ABCDEF – вписанный шестиугольник, у которого противоположные стороны параллельны (рис. справа). Рассматривая вписанный четырёхугольник AA1DA2, получим, что ∠DA1A2 = ∠DAA2 = 90° – ∠DAB = ∠BCD – 90°, то есть A1 A2 ⊥ BC. Oпустив перпендикуляры CC1 и CC2 на прямые FE и AF соответственно и рассуждая аналогично, получим, что C1C2 ⊥ DE.
Таким образом, у треугольников AA1A2 и CC1C2 соответствующие стороны параллельны друг другу и AA1 = CC1, следовательно, эти треугольники равны. Поэтому отрезок A1A2 равен третьей высоте шестиугольника.
