ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116155
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

B равнобедренном треугольнике ABС на боковой стороне отмечена точка M так, что отрезок равен высоте треугольника, проведённой к этой стороне, а на боковой стороне AB отмечена точка K так, что угол KMС – прямой. Hайдите угол ACK.


Решение

По условию высота  CL = CM  (см. рис.). Следовательно, прямоугольные треугольники CLK и CMK равны по гипотенузе и катету, а CK – биссектриса угла LCM. Пусть  ∠BAC = ∠BCA = α,  тогда  ∠LCA = 90° – α,  а  ∠LCB = α – (90° – α) = 2α – 90°.  Значит,
ACK = ∠ACL + ∠LCK = 90° – α + ½ (2α – 90°) = 45°.


Ответ

45°.

Замечания

В этой задаче возникает следующая геометрическая конструкция. Рассмотрим квадрат NXMC (см. рис.). Заметим, что XC – биссектриса угла AXK, кроме того,  ∠NAC = ∠ACM = ∠CAB,  следовательно, AC – биссектриса угла NAK. Таким образом, C – центр вневписанной окружности треугольника AXK, откуда  ∠ACK = 90° – ½ ∠AXK = 45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 09 (2011 год)
Дата 2011-04-10
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .