ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116187
Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Радикальная ось ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AB = BC, CD = DE, EF = FA, а углы A и C — прямые. Докажите, что прямые FD и BE перпендикулярны.


Решение

Первый способ.

Лемма. Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных ребер равны.

Необходимость условия вытекает из теоремы Пифагора. Достаточность можно доказать различными способами:

1) Пусть для сторон четырехугольника KLMN выполняется равенство KL2 + MN2 = LM2 + NK2. Опустим перпендикуляры MX и KY на LN (см. рис. а). Тогда MX2 = LM2LX2 = MN2XN2 и KY2 = KN2NY2 = KL2LY2. Cледовательно, LY2Y N2 = LK2KN2 = LM2MN2 = LX2XN2, то есть LN · (LYYN) = LN · (LXXN), следовательно, точки X и Y совпадают и LNKM.

2) Пусть в четырехугольнике KLMN со сторонами a, b, c и d диагонали пересекаются в точке E (см. рис. б). Предположим, что угол α — острый. Тогда из теоремы косинусов для треугольников KEL и MEN следует, что a2 < x2 + y2 и c2 < z2 + t2, то есть, a2 + c2 < x2 + y2 + z2 + t2. Аналогично, из теоремы косинусов для треугольников LEM и KEN следует, что b2 > z2 + y2 и d2 > x2 + t2, то есть, b2 + d2 > x2 + y2 + z2 + t2. Получили противоречие, так как по условию a2 + c2 = b2 + d2. Cледовательно, LNKM.

Теперь для решения задачи достаточно применить доказанную лемму к четырехугольнику BDEF (см. рис. в). Действительно, по теореме Пифагора для треугольников BCD и ABF

следовательно, FD и BE перпендикулярны.

Рис. а Рис. б Рис. в Рис. г

Второй способ. Рассмотрим окружности с центрами D и F и радиусами DC и EF соответственно (см. рис. г). Тогда BA = BC — касательные к этим окружностям, а точка E принадлежит обеим окружностям, поэтому BE — их радикальная ось, и следовательно, она перпендикулярна линии центров FD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 03 (2005 год)
Дата 2005-04-3
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .