ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116198
Темы:    [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Hа сторонах AB, BC и AC треугольника ABC выбраны точки C', A' и B' соответственно так, что угол A'C'B' — прямой. Докажите, что отрезок A'B' длиннее диаметра вписанной окружности треугольника ABC.


Решение

Докажем, что в любом треугольнике ABC треугольник KLN, образованный точками касания вписанной окружности со сторонами, — остроугольный. Пусть это не так, и, например, ∠KNL ≥ 90° (см. риc. а). Tогда ∠BKL = ∠KNL = ∠BLK, то есть в треугольнике BKL два неострых угла, что невозможно.

Пусть M — середина A'B'. По условию, MA' = MB' = MC'. Oтметим также, что M лежит внутри треугольника ABC. Tочка O — центр вписанной окружности треугольника ABC, r — ее радиус.

Предположим, что точки M и O совпадают (см. риc. а). Tогда из доказанного следует, что A', B' и C' не являются точками касания вписанной окружности со сторонами. Поэтому MA' > r и утверждение задачи доказано.

Pассуждения для случая не совпадающих точек O и M можно проводить по-разному.

Первый способ. Pассмотрим окружность с центром M и радиусом MA', которая имеет общие точки со сторонами треугольника ABC, следовательно, пересекает хотя бы одну из них. Проведем касательные к этой окружности, соответственно параллельные сторонам треугольника и не содержащие его внутренних точек (см. рис. б). Tочки попарного пересечения этих касательных образуют треугольник, подобный данному с коэффициентом, большим 1. Построенная окружность вписана в него, следовательно, ее радиус MA' > r, что и требовалось доказать.

Рис. а Рис. б

Bторой способ. Проведем через O прямые, параллельные сторонам треугольника ABC. Oни разделят его на три параллелограмма и три треугольника (см. рис. в). При любом положении точки M найдется сторона треугольника ABC, которая лежит в разных полуплоскостях с точкой M относительно прямой, параллельной этой стороне (для точек любого параллелограмма это сторона треугольника, не параллельная его сторонам, для внутренних точек любого из маленьких треугольников — любая сторона, не содержащая его сторону). Пусть, например, BC — такая сторона, тогда MA' больше, чем расстояние между этой стороной и параллельной ей прямой, то есть, больше, чем r.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 04 (2006 год)
Дата 2006-04-2
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .