ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116209
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Текстовые задачи (прочее) ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пётр родился в XIX веке, а его брат Павел – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Пётр сказал: "Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения". – "Мой тоже", – ответил Павел. На сколько лет Павел младше Петра?


Решение

  Пусть Пётр и Павел родились в  18xy  и  19uv  году соответственно. Во время их встречи Петру и Павлу было  1 + 8 + x + y  и  1 + 9 + u + v  лет соответственно. Определим двумя способами год, в котором произошла встреча. Поскольку возраст Петра на тот момент был равен сумме цифр его года рождения, встреча произошла в  1800 + 10x + y + 9 + x + y  году. С другой стороны, и возраст Павла был равен сумме цифр его года рождения, а значит, встреча произошла в  1900 + 10u + v + 10 + u + v  году. Итак,  1800 + 10x + y + 9 + x + y = 1900 + 10u + v + 10 + u + v.
  После упрощений уравнение преобразуется к виду  11(x – u) + 2(y – v) = 101. Перепишем его в виде  11(x – u) + 2(y – v – 1) = 99.
  Отсюда видно, что  y – v – 1  делится на 11. Так как  –9 ≤ y – v ≤ 9,  то  y – v = 1.  Следовательно,  x – u = 9.  Павел старше Петра на
1900 + 10u + v – 1800 – 10x – y = 100 – 10(x – u) – (y – v) = 100 – 90 – 1 = 9 лет.
  Надо разобрать ещё два случая: Пётр мог родиться в 1900 году (который тоже относится к XIX веку), или Павел в 2000 году. В первом случае встреча состоялась бы в 1910 году, значит, Павел родился не раньше 1901 и не позже 1910 года, и ему по условию задачи в момент встречи не могло быть меньше 11 лет. Противоречие.
  Во втором случае встреча состоялась бы в 2002 году, и Петру на тот момент было бы не меньше 102 лет, чего также не может быть, так как сумма цифр любого целого числа от 1801 до 1900 не больше 27.


Ответ

На 9 лет.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2011
Номер 74
класс
Класс 8
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .