|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. Известно, что центр описанной окружности треугольника BB1C1 лежит на прямой AC. Найдите угол C треугольника.
Решение
Продолжив луч BC до пересечения с описанной окружностью треугольника BB1C1, получим точку K (см. рис.). Вписанные углы ∠C1BB1 и ∠KBB1 равны (так как BB1 — биссектриса), значит, равны дуги, на которые они опираются, B1C1 = B1K. При этом точки K и C1 лежат на окружности (описанной вокруг треугольника BB1C1), центр которой принадлежит прямой AC. Следовательно, K и C1 симметричны друг другу относительно прямой AC. Получаем равенство трёх углов ∠BCC1 = ∠C1CB1 = ∠B1CK. Сумма этих углов равна 180°, стало быть, каждый из них равен 60°, и ∠ACB = ∠BCC 1 + ∠C1CB1 = 120°.
Комментарии. 1. Легко показать, что центр O окружности может лежать только на продолжении отрезка AC за точку C и, значит, прямая BC пересекает окружность именно так, как показано на рисунке.
2. Возможны также решения, основанные на том, что точки B, C, O, C1 лежат на одной окружности, или на том, что описанная окружность треугольника BC1B1 является окружностью Аполлония для точек A и C.
