Задача 116300

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Вершины треугольника лежат внутри прямоугольника или на его сторонах. Докажите, что площадь треугольника не превосходит половины площади прямоугольника.

Решение

Предположим, что вершины M и L треугольника KLM лежат на одной из сторон, например CD , прямоугольника ABCD (рис.1). Тогда, ML CD и KH AD , где KH — высота треугольника KLM . Следовательно,

S_{Δ KLM} = ML· KH CD · AD = S_ABCD.

Пусть вершина K треугольника KLM совпадает с одной из вершин прямоугольника ABCD , например с A (рис.2), а вершины L и M лежат на сторонах прямоугольника, противоположных вершине A , например L — на BC , а M — на CD . Проведём через точку L прямую, параллельную AB . Пусть эта прямая пересекает отрезок AD в точке P , а отрезок AM — в точке Q . Тогда по ранее доказанному S_{Δ ALQ} S_ABLP и S_{Δ MLQ} S_CLPD . Следовательно,
S_{Δ ALM}=S_{Δ ALQ}+S_{Δ MLQ} S_ABLP+S_CLPD = (S_ABLP+S_CLPD)= S_ABCD.

Наконец, если хотя бы одна из вершин треугольника KLM лежит внутри прямоугольника ABCD (рис.3), то проведя через вершины, лежащие внутри прямоугольника, прямые, параллельные соответствующим сторонам прямоугольника, получим новый прямоугольник, площадь которого меньше площади исходного, а вершины треугольника KLM лежат на сторонах нового прямоугольника. Применяя доказанные ранее утверждения, и в этом случае получим требуемое неравенство.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6138