ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116302
Темы:    [ Доказательство от противного ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Могут ли три точки с целыми координатами быть вершинами равностороннего треугольника?

Решение

Предположим, что такой равносторонний треугольник ABC существует. Пусть его стороны не параллельны осям координат. Тогда проведя через его соответствующие вершины прямые, параллельные осям координат, опишем около него прямоугольник. Длины сторон этого прямоугольника, а значит, и площадь, — целые числа. Площадь треугольника ABC равна разности площади прямоугольника и трёх прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Поэтому площадь треугольника — рациональное число. С другой стороны, площадь равностороннего треугольника со стороной a равна , причём a2 — целое число как квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника с целыми катетами. Значит, число иррационально. Противоречие.
Аналогично для случая, когда одна из сторон треугольника ABC параллельна оси координат.

Ответ

Нет.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6140

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .