ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116756
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храмцов Д.

На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали k точек и построили выпуклый k-угольник с вершинами
в выбранных точках. При каком наибольшем k могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон?


Решение

   Пусть  A1, A2, , A2012  – отмеченные точки в порядке обхода (мы будем считать, что  A2013 = A1A2014 = A2).  Разобьём их на четвёрки
(A1, A2, A1007, A1008),  (A3, A4, A1009, A1010),  ...,  (A1005, A1006, A2011, A2012).  Если среди выбранных k точек встретятся все точки некоторой четвёрки  (A2i–1, A2i, A2i+1005, A2i+1006),  то в полученном многоугольнике найдутся две стороны A2i–1A2i и A2i+1005A2i+1006, которые симметричны относительно центра окружности и потому параллельны. Значит, в каждой из 503 четвёрок будет отмечено не более трёх вершин, то есть  k ≤ 503· 3 = 1509.
   Пример 1509-угольника без параллельных сторон с вершинами в отмеченных точках: A1A2...A1006A1008A1010... A2012 (вершинами являются все точки с номерами от 1 до 1006 и все точки с чётными номерами от 2008 до 2012). Действительно, стороны A2012A1, A1A2, ..., A1005A1006 лежат по одну сторону от диаметра A2012A1006 и потому не параллельны; аналогично, стороны  A1006A1008, ..., A2010A2012  попарно не параллельны. Наконец, малая диагональ AjAj+2 правильного 2012-угольника не параллельна его сторонам; значит, никакие две стороны вида AiAi+1 и AjAj+2 также не могут быть параллельными.


Ответ

При  k = 1509.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 5
класс
Класс 9
Задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .