ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116896
Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Симметрия и построения ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC провели биссектрисы BB' и CC', а затем стёрли весь рисунок, кроме точек A, B' и C'.
Восстановите треугольник ABC при помощи циркуля и линейки.


Решение 1

  Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, а O – центр описанной окружности Ω треугольника B'IC'. Как известно,
B'IC' = 90° + ½ ∠A  (см. задачу 55448). Значит, ∠B'OC' = 180° – ∠B'AC'.
  Таким образом, можно построить точку O, а затем – точку I (как точку пересечения меньшей дуги B'C' окружности Ω с биссектрисой угла B'AC', см. рис.). Теперь точки B и C строятся как пересечение прямых B'I, AC' и C'I, AB' соответственно.


Решение 2

  Точка B' равноудалена от прямых BC и AB. Поэтому окружность с центром B', касающаяся AC', касается также BC. Аналогично прямая BC касается окружности с центром C', касающейся AB'  (см. рис.). Следовательно, для восстановления точек B и C достаточно провести общую внешнюю касательную к этим двум окружностям (лежащую по другую сторону от B'C', чем A) и найти точки её пересечения с AB' и AC'.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2012
класс
Класс 8
задача
Номер 8.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .