ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 117007
Темы:    [ Треугольники с углами 60° и 120° ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мухин Д.

Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I,  ∠ABC = 120°.  На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены соответственно точки P и Q так, что  AP = CQ = AC.  Докажите, что угол PIQ – прямой.


Решение 1

  Заметим, что  ∠ABQ = ∠CBP = ∠ABI = ∠CBI = 60°.

  Пусть  ∠BAC = 2x,  а  ∠BCA = 2y,  тогда (из треугольника ABC)  2x + 2y + 120° = 180°,  то есть  x + y = 30°.
  Треугольники ACI и QCI равны (по первому признаку), поэтому  ∠CQI = ∠CAI = x.  Из треугольника QBI:  ∠QIB = 180° – 120° – x = 60° – x. Аналогично  PIB = 60° – y.
  Таким образом,  ∠PIQ = ∠PIB + ∠QIB = (60° – y) + (60° – x) = 120° – (x + y) = 120° – 30° = 90°.


Решение 2

  Пусть биссектриса CI пересекает AQ в точке M (см. рис.).

Эта биссектриса – ось симметрии угла C, точки A и Q симметричны относительно неё, значит, углы AIM и QIM равны.
  ∠AIC = 90° + 60° = 150°  (см. задачу 55448), поэтому  ∠AIM = 30°,  а  ∠AIQ = 2∠AIM = 60°.
  Аналогично  ∠CIP = 60°,  и  ∠PIQ = 180° – ∠MIQ – ∠CIP = 180° – 30° – 60° = 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-03-17
класс
1
Класс 7 класс
задача
Номер 7.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .