ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30309
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – мальчики.


Решение 1

Уберём из-за стола каждого второго и посадим их за другой стол в том же порядке. За каждым столом теперь по 25 человек, поэтому мальчиков и девочек не поровну – есть стол, где мальчиков больше, чем девочек. За этим столом два мальчика должны сидеть рядом (если рядом с каждым мальчиком сидит две девочки, то девочек не меньше, чем мальчиков). Но за исходным столом между этими мальчиками кто-то сидел.


Решение 2

Предположим, что это не так. Тогда нигде рядом не сидят больше двух мальчиков и рядом с девочкой всегда сидит хотя бы одна девочка. Разобьем всех сидящих за столом на группы рядом сидящих мальчиков и группы рядом сидящих девочек. Эти группы чередуются, поэтому количество групп мальчиков и групп девочек одинаково. Как мы только что заметили, в каждой группе мальчиков находится не более двух ребят, а в каждой группе девочек – не менее двух. Поэтому все эти группы состоят ровно из двух человек (иначе мальчиков меньше, чем девочек). Но тогда этих групп 25 – нечётное число. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 2
Название Четность
Тема Четность и нечетность
задача
Номер 028

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .