ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30600
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Назовём натуральное число n удобным, если  n² + 1  делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.


Подсказка

Если n – удобное число, то и  1000001 – n  – также удобное.


Решение

(1000001 – n)² + 1 = 1000001(1000001 – 2n) + n² + 1.  Поэтому если n – удобное число, то и  1000001 – n  – также удобное. Осталось проверить, что число 500000 – неудобное. Действительно,  (5·105)² + 1 = 25·1010 + 1 = 25·104(106 + 1) – (25·104 – 1),  а второе слагаемое меньше  106 + 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 10
Название Делимость-2
Тема Теория чисел. Делимость
задача
Номер 014

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .