Задача 30804

Темы:    [ Планарные графы. Формула Эйлера ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Каждое ребро полного графа с 11 вершинами покрашено в один из двух цветов: красный или синий.
Докажите, что либо "красный", либо "синий" граф не является плоским.

Решение

Пусть оба эти графа – плоские. Тогда у них вместе не более, чем  (3·11 – 6) + (3·11 – 6) = 54  ребра (см. задачу 30799). Однако в полном графе с 11 вершинами 55 ребер. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	13
Название	Графы-2
Тема	Теория графов
задача
Номер	026