Условие
Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый
фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее
количество фонарей может быть на дороге, если известно, что
после
выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?
Подсказка
Если отрезки, освещенные n-м и
(n+2)-м фонарями, пересекаются, то (n+1)-й фонарь можно
выключить.
Решение
Занумеруем фонари натуральными числами в
порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещенные n-м и
(n+2)-м фонарями, пересекаются, то (n+1)-й фонарь можно
выключить.
Следовательно, отрезки с различными нечетными номерами,
не
пересекаются. На отрезке длины 1000 м нельзя расположить больше 999
непересекающихся отрезков длины 1 м. Значит, фонарей не больше 1998.
Расположим 1998 фонарей так, чтобы центры освещенных
отрезков
образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой
равен
0,5 м, а 1998-й равен 999,5 м. Между n-м и (n+2)-м
отрезком остается зазор в 1/1997 м. Его освещает только
(n+1)-й фонарь. Поэтому никакой фонарь нельзя выключить.
Ответ
1998.00
Источники и прецеденты использования
