ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34907
Тема:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Докажите, что если равны периметры треугольников ABC, BCD, CDA, DAB, то ABCD - прямоугольник.

Подсказка

Составьте систему уравнений.

Решение

Обозначим стороны и диагонали четырехугольника x1, x2, x3, x4, y1, y2, как на рисунке. Из условия следуют равенства x1+x2+y1=x3+x4+y1, x2+x3+y2=x1+x4+y2. Складывая их друг с другом и вычитая одно из другого, получаем: x2=x4, x1=x3. Следовательно, ABCD - параллелограмм. Теперь из равенства x1+x2+y1=x2+x3+y2=x2+x1+y2 следует, что y1=y2, то есть ABCD - прямоугольник.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .