Задача 34917

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Куб ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

На какое наименьшее число тетраэдров можно разбить куб?

Подсказка

Оценивайте объемы тетраэдров.

Решение

  Пример. Куб ABCDA'B'C'D' можно разбить на пять тетраэдров: AA'B'D', AB'BC, ACDD', B'C'D'C и ACB'D'.
  Оценка. Пусть куб разбит на несколько тетраэдров. Основания хотя бы двух из них лежат на грани ABCD. Также имеются другие два тетраэдра с основаниями на грани A'B'C'D' (у одного тетраэдра нет двух параллельных граней). Если ребро куба равно 1, то суммарный объем первых (вторых) двух тетраэдров не больше ⅓. Поскольку суммарный объем этих четырёх тетраэдров меньше 1, то в разбиении куба кроме них участвует ещё хотя бы один тетраэдр.

Ответ

На 5 тетраэдров.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача