ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и EF = 1. Найдите длины сторон DE и AF. Решение На плоскости дано бесконечное множество прямоугольников, вершины каждого из которых расположены в точках с координатами (0, 0), (0, m), (n, 0), (n, m), где n и m — целые положительные числа (свои для каждого прямоугольника). Докажите, что из этих прямоугольников можно выбрать два так, чтобы один содержался в другом. Решение Несколько человек в течение t минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти t минут? РешениеДокажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD. Решение |
Задача 34971
УсловиеНайдите все целые решения уравнения yk = x² + x, где k – фиксированное натуральное число, большее 1. ПодсказкаРазложите правую часть на множители и используйте взаимную простоту этих множителей. Решениеyk = x(x + 1). Числа x и x + 1 взаимно просты, поэтому x и x + 1 являются k-ми степенями целых чисел. Ясно, что имеется ровно две пары последовательных целых чисел, являющихся k-ми степенями при k > 1 – (–1, 0) и (0, 1). Таким образом, x может принимать только два значения: 0 и –1. Остается проверить, что оба эти значения подходят и в обоих случаях y = 0. Ответ(0, 0) и (–1, 0). Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|