ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35063
Темы:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны 10 натуральных чисел, не превышающих 91. Докажите, что отношение некоторых двух из этих чисел принадлежит отрезку  [2/3, 3/2].


Подсказка

Упорядочите числа по возрастанию. Может ли при этом каждое число превосходить предыдущее более чем в 1,5 раза?


Решение

  Предположим, что для некоторых чисел  a1a2 ≤ ... ≤ a10 ≤ 91  утверждение не выполнено. Тогда каждое из чисел (кроме первого) больше предыдущего более, чем в 1,5 раза.
  a1 ≥ 1  (числа натуральные). Отсюда последовательно получаем:  a2 > 3/2,  то есть  a2 ≥ 2;  a3 > 3/2·2 = 3,  то есть  a3 ≥ 4;  a4 > 6,   то есть  a4 ≥ 7;
a5 ≥ 11;  a6 ≥ 17;  a7 ≥ 26;  a8 ≥ 40;  a9 ≥ 61;  a10 ≥ 92.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .