Задача 35063

Темы:    [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Даны 10 натуральных чисел, не превышающих 91. Докажите, что отношение некоторых двух из этих чисел принадлежит отрезку  [²/₃, ³/₂].

Подсказка

Упорядочите числа по возрастанию. Может ли при этом каждое число превосходить предыдущее более чем в 1,5 раза?

Решение

  Предположим, что для некоторых чисел  a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a₁₀ ≤ 91  утверждение не выполнено. Тогда каждое из чисел (кроме первого) больше предыдущего более, чем в 1,5 раза.
  a₁ ≥ 1  (числа натуральные). Отсюда последовательно получаем:  a₂ > ³/₂,  то есть  a₂ ≥ 2;  a₃ > ³/₂·2 = 3,  то есть  a₃ ≥ 4;  a₄ > 6,   то есть  a₄ ≥ 7;
a₅ ≥ 11;  a₆ ≥ 17;  a₇ ≥ 26;  a₈ ≥ 40;  a₉ ≥ 61;  a₁₀ ≥ 92.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача