ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35527
Тема:    [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что середины сторон двух выпуклых четырехугольников совпадают. Докажите, что их площади равны.

Подсказка

Какую часть площади четырехугольника составляет площадь четырехугольника с вершинами в серединах его сторон?

Решение

Пусть K, L, M, N - середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника ABCD. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, поэтому KL параллельна AС и равна AC/2. Таким же образом, MN параллельна AС и равна AC/2, LM параллельна BD и равна BD/2 и NK параллельна BD и равна BD/2. Таким образом, KLMN - параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям четырехугольника ABCD и равны соответственно половинам этих диагоналей. По формуле площади четырехугольника площадь четырехугольника KLMN равна AC*BD*sinX/2, где X - угол между диагоналями AC и BD. Площадь параллелограмма KLMN равна KL*LM*sinX = (AC/2)*(BD/2)*sinX = AC*BD*sinX/4. Таким образом, площадь параллелограмма KLMN вдвое меньше площали четырехугольника ABCD. Из доказанного легко следует утверждение задачи: площади обоих четырехугольников равны удвоенной площади четырехугольника с вершинами в точках, являющихся их общими серединами сторон.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .