ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52355
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Повороты на 60° и 120° ]
[ Теорема косинусов ]
[ Теорема Птолемея ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP = BP + CP.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Отложите на луче AP отрезок AP1, равный отрезку CP, и докажите, что треугольник BPP1 — равносторонний.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Первый способ.

Отложим на луче AP отрезок AP1, равный отрезку CP. Тогда треугольники AP1B и CPB равны по двум сторонам и углу между ними. В треугольнике BPP1

BP1 = BP$\displaystyle \angle$BPP1 = $\displaystyle \angle$BPA = $\displaystyle \angle$BCA = 60o.

Поэтому PP1 = BP. Следовательно,

AP = AP1 + P1P = BP + CP.

Второй способ.

Пусть P1 — образ точки P при повороте на 60o вокруг вершины B, переводящем C в A. Тогда

$\displaystyle \angle$AP1B + $\displaystyle \angle$BP1P = $\displaystyle \angle$CPB + $\displaystyle \angle$BP1P = 120o + 60o = 180o.

Поэтому точка P1 лежит на отрезке AP. Следовательно,

AP = AP1 + P1P = BP + CP.

Третий способ.

Обозначим AC = AB = BC = a, CP = x, BP = y, AP = z. Пусть x$ \ne$y. По теореме косинусов из треугольников ACP и ABP находим, что

a2 = x2 + z2 - xza2 = y2 + z2 - yz.

Вычитая почленно эти уравнения, получим, что

(x - y)(x + y - z) = 0.

Поскольку x$ \ne$y, то z = x + y.

Если же x = y, то угол CAP прямоугольного треугольника ACP равен 30o. Поэтому z = 2x = x + y.

Четвёртый способ.

Поскольку четырёхугольник ABPC — вписанный, то по теореме Птолемея

BC . AP = AC . BP + AB . CP,

а т.к. BC = AC = AB, то AP = BP + CP.


Также доступны документы в формате TeX

Замечания

1. В "Задачнике Кванта" данная задача присутствовала в следующей формулировке: Докажите, что для любой точки М окружности, описанной около правильного треугольника АВС, длина одного из трёх отрезков МА, МВ и МС равна сумме длин двух других.

2. Обобщение см. в задаче 55464.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 17
журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М18a
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 6
Год 1940
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 2
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 18
Название Поворот
Тема Поворот
параграф
Номер 2
Название Поворот на 60 градусов
Тема Повороты на 60° и 120°
задача
Номер 18.013

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .