ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52419
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AC и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ACA1A2 и BCB1B2.
Докажите, что прямые A1B, A2B2 и AB1 пересекаются в одной точке.


Подсказка

Опишите окружности около квадратов и рассмотрите точку пересечения этих окружностей, отличную от C.


Решение

  Опишем окружности около этих квадратов. Пусть M — общая точка этих окружностей, отличная от C. Тогда  ∠CMB1 = ∠CB2B1 = 45°,
CMA = 180° – ∠CA2A = 135°.  Следовательно, прямая AB1 проходит через точку M.
  Аналогично для прямых A2B2 и AB1.

Замечания

На рисунке изображен случай, когда угол C острый. В случае, когда угол C тупой, рисунок другой, но, как легко убедиться, все участвующие в решении углы не меняются. В случае, когда угол C прямой, точки M не существует, а три указанные прямые пересекаются в точке C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 81

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .