Задача 52786

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26. Две меньшие стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на большей стороне.
Найдите радиус окружности.

Подсказка

Площадь данного треугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбивается отрезком, соединяющим вершину большего угла с центром данной окружности.

Решение

  Заметим, что данный треугольник – прямоугольный   (12² + 5² = 13²).  Пусть r – искомый радиус.
  Отрезок, соединяющий вершину прямого угла с центром данной окружности, разбивает треугольник на два треугольника. Радиусы окружности, проведённые в точки касания, являются высотами этих треугольников. Сумма площадей получившихся треугольников равна площади данного треугольника, то есть
5r + 12r = 120.  Отсюда  r = ¹²⁰/₁₇.

Ответ

¹²⁰/₁₇.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	451