ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52793
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Теорема синусов ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN, O – центр описанной окружности. Известно, что  ∠B = β,  а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите AC.


Подсказка

Диагонали четырёхугольника NOMB взаимно перпендикулярны.


Решение

  На касательной к описанной окружности Ω, проведённой в точке B, отметим точку P так, чтобы она и точка C лежали по разные стороны от прямой AB. Поскольку  ∠ABP = ∠C = ∠BNM,  то  BP || MN,  а  OBMN.  Треугольник BMN подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos β, значит,  MN = AC cos β.

             
  Кроме того,  AC = 2OB sin β.  Следовательно,  S = ½ MN·OB = ¼ AC² ctg β,  откуда  AC = 2.


Ответ

2.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 458

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .