Задача 52895

Темы:    [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике основание равно 30, а боковая сторона равна 39. Найдите радиус вписанной окружности.

Подсказка

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен площади треугольника, делённой на его полупериметр.

Решение

Первый способ.

Найдём высоту треугольника, опущенную на основание:

h² = 39² - 15² = 24 ^. 54 = 36², h = 36.

Искомый радиус равен площади треугольника, делённой на его полупериметр:

r = = = 10.

Второй способ.

Поскольку треугольник равнобедренный, то центр O его вписанной окружности лежит на высоте AM, опущенной на основание BC. Пусть K — точка касания вписанной окружности с боковой стороной AC. Тогда

KC = CM = 15, AK = 39 - 15 = 24, AM = 36.

Радиус OK вписанной окружности найдём из подобия треугольников AOK и ACM.

Третий способ.

По свойству биссектрисы треугольника AO : OM = AB : BM. Следовательно,

r = OM = = 10.

Ответ

10.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	562