Информация о задаче

Задача 53057

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Четыре точки окружности следуют в порядке: A, B, C, D. Продолжение хорды AB за точку B и хорды CD за точку C пересекаются в точке E, причём угол AED равен 60^o. Угол ABD в три раза больше угла BAC. Докажите, что AD — диаметр окружности.

Подсказка

$\angle$ ACD — внешний угол треугольника ACE.

Решение

Первый способ.

Обозначим $\angle$ BAC = $\alpha$ . Тогда $\angle$ ABD = 3 $\alpha$ . Поскольку

$\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \angle$ ABD = 3 $\displaystyle \alpha$ ,

а $\angle$ ACD — внешний угол треугольника ACE, то

$\displaystyle \angle$ ACD = $\displaystyle \angle$ BAC + $\displaystyle \angle$ AED, т.е. 3 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \alpha$ + 60^o.

Отсюда находим, что $\alpha$ = 30^o, а $\angle$ ABD = 3 $\alpha$ = 90^o. Поэтому AD — диаметр окружности.

Второй способ.

Заметим, что

$\displaystyle \angle$ AED = $\displaystyle {\frac{\cup AD -\cup BC}{2}}$ .

Если $\angle$ BAC = $\alpha$ , то имеем уравнение

60^o = $\displaystyle {\frac{6\alpha - 2\alpha}{2}}$ .

Откуда находим, что $\alpha$ = 30^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ ABD = 3 $\displaystyle \alpha$ = 90^o.

Поэтому AD — диаметр.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	726