ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53086
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности радиусов   и   пересекаются в точке A. Расстояние между центрами окружностей равно 3. Через точку A проведена прямая, пересекающая окружности в точках B и C так, что  AB = AC  (точка B не совпадает с C). Найдите AB.


Решение

  Пусть O1 и O2 – центры меньшей и большей окружностей соответственно. Опустим перпендикуляры O1M и O2N на прямую BC и обозначим
AB = AC = 2x,  O1M = a,  O2N = b.  Тогда  b² – a² = (5 – x²) – (2 – x²) = 3,  O1M² = 2 – x²,  O2N² = 5 – x².
  Средняя линия трапеции O1MNOO2 равна  ½ (b + a).  С другой стороны, она является медианой треугольника O1AO2, и поэтому     (см. задачу 55267).
  Следовательно,  2x² = (2 – a²) + (5 – b²) = 7 – a² – b²,  9 = (b – a)² + 4x² = (b – a)² + 14 – 2a² – 2b² = 14 – (b + a)²,  откуда  (b + a)² = 5,
(b – a)² = (b²–a²)²/(b+a = 9/5a² + b² = ½ ((b + a)² + (b – a)²) = 17/5x² = ½ (7 – a² – b²) = 9/5.  Следовательно,  AB = 2x = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 755

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .