ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53123
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Теорема синусов ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB , пересекает прямую AC в точке M , а перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC , пересекает прямую AB в точке N . Известно, что MN = BC и прямая MN перпендикулярна прямой BC . Найдите углы треугольника ABC .

Решение

Пусть BC = a ; D и E — середины AB и AC . Точки E , M , D и N лежат на окружности с диаметром MN (т.к. MEN = MDN = 90o ), MN = a , ED = (средняя линия треугольника ABC ). Тогда DE = MN sin DME . Следовательно,

sin DME = = =.

Тогда либо DME = 30o , либо DME = 150o . Пусть DME = 30o (рис.1). Тогда
BAC = MAD = 90o - EMD = 60o.

Вписанные углы EDN и EMN опираются на одну и ту же дугу, DE || BC (как средняя линия), а ABC = DMN (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Поэтому
EMN = EDN = EDA = ABC = DMN.

Следовательно,
ABC = EMD = 15o.

Тогда
ACB = 180o-60o-15o = 105o.

Если же DME = 150o (рис 2.), рассуждая аналогично, получим, что
BAC = 60o, ACB = 15o, ABC = 105o.


Ответ

A = 60o , B = 15o , C = 105o или A = 60o , B = 105o , C = 15o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 792

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .