ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53196
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 2-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании $ \alpha$. Кроме того, построена вторая окружность, касающаяся первой окружности и основания треугольника, причём точка касания является серединой основания. Найдите радиус второй окружности. Если решение не единственное, рассмотрите все случаи.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Диаметр одной из искомых окружностей — высота данного треугольника, а другой — разность между диаметром описанной окружности и диаметром первой искомой окружности.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть CK — диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника ABC (AC = BC, AB = a, $ \angle$A = $ \angle$B = $ \alpha$). Тогда середина M основания AB принадлежит этому диаметру, а CM и MK — диаметры искомых окружностей.

Пусть r и x — радиусы искомых окружностей. Тогда

r = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AM . tg$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$tg$\displaystyle \alpha$,

x = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$MK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AM . ctg$\displaystyle \angle$AKM = $\displaystyle {\frac{a}{4}}$ctg$\displaystyle \alpha$.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ

$ {\frac{a}{4}}$tg$ \alpha$, $ {\frac{a}{4}}$ctg$ \alpha$.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 891

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы, Московского института открытого образования и ФЦП "Кадры" .