ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53236
Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Теорема синусов ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC высота BH делит сторону AC в отношении  AH : HC = 4,  а угол HBC вдвое меньше угла A. Биссектриса AE угла A пересекается с BH в точке M. Найдите отношение площади треугольника ABM к площади описанного около этого треугольника круга.


Подсказка

Докажите, что треугольник ABM – равнобедренный, и найдите cos∠A.


Решение

  Обозначим  ∠HBC = α.  Тогда  ∠BAM = ∠CAM = α.  Поскольку  ∠BME = ∠AMH,  то  ∠BEM = ∠AHM = 90°,  то есть биссектриса AE треугольника ABC является его высотой. Значит, треугольник BAC – равнобедренный.
  Обозначим  CH = x.  Тогда  AH = 4x,  AB = AC = 5x,  cos 2α = cos∠A = AH/AB = 4/5,  cos α = .
  Поскольку  ∠BMA = 90° + α,  то радиус R описанной окружности треугольника ABM равен  
  Из треугольника ABH находим, что  BH = 3x.  Поэтому  SABH = ½·4x·3x = 6x².
  По свойству биссектрисы треугольника  BM/MH = 5/4.  Следовательно,  SABM = 5/9 SABH = 10/3 x²,  а искомое отношение равно


Ответ

12/25π.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 931

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .