Задача 53629

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

B и C – две точки на сторонах угла с вершиной A. Окружности с диаметрами AC и AB вторично пересекаются в точке D. Прямая AB вторично пересекает первую окружность в точке K, а прямая AC вторично пересекает вторую окружность в точке M. Докажите, что прямые BM, CK и AD пересекаются в одной точке.

Подсказка

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°, поэтому  BD ⊥ AD  и  CD ⊥ AD.  Значит, точки C, B и D лежат на одной прямой. Кроме того,  BM ⊥ AC,  значит, AD, CK и BM – высоты треугольника ABC. Следовательно, прямые AD, CK и BM пересекаются в одной точке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1364