|
|
 |
Условие
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Точки D и E диаметрально противоположны вершинам A и B соответственно. Хорда DF параллельна стороне BC. Прямая EF пересекает сторону AC в точке G, а сторону BC – в точке H. Докажите, что OG || BC и EG = GH = GC.
Подсказка
Используя равенство дуг, заключённых между параллельными хордами, докажите, что CG – медиана прямоугольного треугольника EHC.
Решение
Поскольку ∠AFD = ∠BCE = 90°, то AF || EC, поэтому меньшие дуги AE и FC равны. Значит, ∠GEC = ∠FEC = ∠ACE = ∠GCE, то есть треугольник EGC – равнобедренный. Его вершина G лежит на серединном перпендикуляре к отрезку EC, поэтому G – середина гипотенузы EH прямоугольного треугольника EHC. Следовательно, EG = GH = GC.
Отрезок OG – средняя линия треугольника BEH. Следовательно, OG || BC.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1447 |
