Задача 53766

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку C взята точка N, причём  AC = 2CN.  Точка M находится на стороне BC, причём  BM : MC = 1 : 3.
В каком отношении прямая MN делит сторону AB?

Решение

  Первый способ. Через точку B проведём прямую, параллельную AC. Пусть прямая MN пересекает её в точке T, а прямую AB – в точке K.
  CN = ½ AC,  AN = ³/₂ AC.  Из подобия треугольников TBM и NCM (коэффициент ¹/₃) находим, что  TB = ¹/₃ CN = ¹/₆ AC,  а из подобия треугольников TBK и NAK –  BK : AK = BT : AN = 1 : 9.

  Второй способ. Через точку M проведём прямую, параллельную AB, до пересечения с AC в точке L.
  Из подобия треугольников LMC и ABC находим, что  LM = ¾ AB  и  AL = ¼ BC = ¹/₆ AN,  а из подобия треугольников LMN и AKN –  AK = ⁶/₅·¾ AB = ⁹/₁₀ AB.

Ответ

1 : 9,  считая от точки B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1530