|
|
 |
Условие
Треугольник ABC не имеет тупых углов. На стороне AC этого треугольника взята точка D так, что AD = ¾ AC. Найдите угол A, если известно, что прямая BD разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника.
Подсказка
Докажите, что BD ⊥ AC.
Решение
Если угол ADB – тупой, то в треугольнике CBD один из углов тупой. Тогда и в треугольнике ABC один из углов тупой, что
противоречит условию. Аналогично угол ADB не может быть острым. Следовательно, ∠ADB = 90°.
Если ∠BCD = ∠BAD, то треугольник ABC – равнобедренный. Тогда его высота BD является медианой, что противоречит условию. Поэтому
∠BCD = ∠ABD и ∠DBC = ∠BAD, то есть треугольник ABD подобен треугольнику BCD. Следовательно, ∠B = ∠ABD + ∠DBC = ∠ABD + ∠BAD = 90°.
AD : CD = AB² : BC², значит, AB : BC = : 1, то есть ∠A = 30°.
Ответ
30°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1559 |
