Задача 53863

Темы:    [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ – на другой. Докажите, что если  AB₁ || BA₁  и  AC₁ || CA₁,  то  BC₁ || CB₁.

Подсказка

Если данные прямые не параллельны, рассмотрите подобные треугольники.

Решение

  Если две данные прямые параллельны, то утверждение очевидно.
  Пусть прямые пересекаются в точке O. Тогда  OA : OB = OB₁ : OA₁,  OC : OA = OA₁ : OC₁.  Перемножив почленно полученные равенства, найдём, что
OC : OB = OB₁ : OC₁.  Следовательно,  BC₁ || CB₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1628