ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54456
Темы:    [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Формула Герона ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На биссектрисе острого угла AOC взята точка B. Через точку B проведена прямая, перпендикулярная к OB и пересекающая сторону AO в точке K, а сторону OC – в точке L. Через точку B проведена еще одна прямая, пересекающая сторону AO в точке M (M – между O и K), сторону OC — в точке N, причём так, что  ∠MON = ∠MNO.  Известно, что  MK = a,  LN = 3a/2.  Найдите площадь треугольника MON.


Решение

  Рассмотрим точку P, симметричную N относительно прямой OB. Эта точка лежит на прямой OM, и  KP = LN.  Кроме того,  ∠KBP = ∠LBN = ∠KBM,  то есть BK – биссектриса угла MBP. Значит,  2 : 3 = MK : LN = MK : KP = MB : PB = MB : BN = MO : NO = OM : OP.  Следовательно,
OM = 2MP = 2(a + 3a/2) = 5a,  ON = 3/2 OM = 7,5a.

  Площадь треугольника MON со сторонами 5a, 5a, 7,5a можно найти по формуле Герона:  


Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2220

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .