ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55031
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD острый угол BAD равен $ \alpha$. Пусть O1, O2, O3, O4 — центры окружностей, описанных соответственно около треугольников DAB, DAC, DBC, ABC. Найдите отношение площади четырёхугольника O1O2O3O4 к площади параллелограмма ABCD.


Подсказка

Проведите четыре серединных перпендикуляра к сторонам параллелограмма. Их пересечение образует параллелограмм O1O2O3O4.


Решение

Рассмотрим четырёхугольник, вершины которого — точки пересечения четырёх серединных перпендикуляров к сторонам данного параллелограмма. Это также параллелограмм, и его вершины -- это точки O1, O2, O3 и O4. Обозначим через O общий центр этих параллелограммов.

Пусть острый угол между диагоналями параллелограмма ABCD равен $ \varphi$. Тогда острый угол между диагоналями параллелограмма O1O2O3O4 также равен $ \varphi$ (острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны).

Рассмотрим окружность с центром O1, описанную около треугольника ABD. Центральный угол BO1D вдвое больше вписанного угла BAD, поэтому

$\displaystyle \angle$BO1O = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \angle$BO1D = $\displaystyle \angle$BAD = $\displaystyle \alpha$.

Из прямоугольного треугольника BO1O находим, что $ {\frac{OO_{1}}{BO}}$ = ctg$ \alpha$. Аналогично находим, что $ {\frac{OO_{2}}{AO}}$ = ctg$ \alpha$. Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}}}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}O_{1}O_{3}\cdot O_{2}O_{4}\sin \varphi}{\frac{1}{2}BD\cdot AC \sin \varphi}}$ =

= $\displaystyle {\frac{O_{1}O_{3}}{BD}}$ . $\displaystyle {\frac{O_{2}O_{4}}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}O}{BO}}$ . $\displaystyle {\frac{OO_{2}}{AO}}$ = ctg$\displaystyle \alpha$ . ctg$\displaystyle \alpha$ = ctg2$\displaystyle \alpha$.


Ответ

ctg2$ \alpha$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3087

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .