Информация о задаче

Задача 55031

Темы:	[	Площадь четырехугольника	]
Темы:	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD острый угол BAD равен $\alpha$ . Пусть O₁, O₂, O₃, O₄ — центры окружностей, описанных соответственно около треугольников DAB, DAC, DBC, ABC. Найдите отношение площади четырёхугольника O₁O₂O₃O₄ к площади параллелограмма ABCD.

Подсказка

Проведите четыре серединных перпендикуляра к сторонам параллелограмма. Их пересечение образует параллелограмм O₁O₂O₃O₄.

Решение

Рассмотрим четырёхугольник, вершины которого — точки пересечения четырёх серединных перпендикуляров к сторонам данного параллелограмма. Это также параллелограмм, и его вершины -- это точки O₁, O₂, O₃ и O₄. Обозначим через O общий центр этих параллелограммов.

Пусть острый угол между диагоналями параллелограмма ABCD равен $\varphi$ . Тогда острый угол между диагоналями параллелограмма O₁O₂O₃O₄ также равен $\varphi$ (острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны).

Рассмотрим окружность с центром O₁, описанную около треугольника ABD. Центральный угол BO₁D вдвое больше вписанного угла BAD, поэтому

$\displaystyle \angle$ BO₁O = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ BO₁D = $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \alpha$ .

Из прямоугольного треугольника BO₁O находим, что ${\frac{OO_{1}}{BO}}$ = ctg $\alpha$ . Аналогично находим, что ${\frac{OO_{2}}{AO}}$ = ctg $\alpha$ . Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}}}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{1}{2}O_{1}O_{3}\cdot O_{2}O_{4}\sin \varphi}{\frac{1}{2}BD\cdot AC \sin \varphi}}$ =

= $\displaystyle {\frac{O_{1}O_{3}}{BD}}$ ^. $\displaystyle {\frac{O_{2}O_{4}}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{O_{1}O}{BO}}$ ^. $\displaystyle {\frac{OO_{2}}{AO}}$ = ctg $\displaystyle \alpha$ ^.ctg $\displaystyle \alpha$ = ctg² $\displaystyle \alpha$ .

Ответ

ctg² $\alpha$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3087