Информация о задаче

Задача 55206

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точки M и N лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырёхугольника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN.

Подсказка

S_AMN = ${\frac{AM}{AB}}$ ^. ${\frac{AN}{AC}}$ S_ABC.

Решение

Обзначим AM = NC = x, AN = BM = y. Тогда

S_AMN = $\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AN}{AC}}$ S_ABC = $\displaystyle {\frac{xy}{(x + y)^{2}}}$ ^.S_ABC,

S_BMNC = S_ABC - S_AMN = $\displaystyle \left(\vphantom{1-\frac{xy}{(x+y)^{2}}}\right.$ 1 - $\displaystyle {\frac{xy}{(x + y)^{2}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{1-\frac{xy}{(x+y)^{2}}}\right)$ S_ABC.

Осталось доказать, что

1 - $\displaystyle {\frac{xy}{(x + y)^{2}}}$ $\displaystyle \geqslant$ $\displaystyle {\frac{3xy}{(x+y)^{2}}}$ , или $\displaystyle {\frac{4xy}{(x+y)^{2}}}$ $\displaystyle \leqslant$ 1.

Последнее неравенство следует из известного неравенства

$\displaystyle \sqrt{xy}$ $\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\frac{x+y}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3560