Информация о задаче

Задача 55371

Темы:	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M₁, M₂,..., M₆ — середины сторон выпуклого шестиугольника A₁A₂...A₆. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M₁M₂, M₃M₄, M₅M₆.

Подсказка

$\overline{M_{1}M_{2}}$ = ${\frac{1}{2}}$ $\overline{A_{1}A_{3}}$ .

Решение

Пусть M₁ — середина A₁A₂, M₂ — середина A₂A₃ и т.д. Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{M_{1}M_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{M_{3}M_{4}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{M_{5}M_{6}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{A_{1}A_{3}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_{3}A_{5}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_{5}A_{1}}$ ) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \overrightarrow{A_{1}A_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4520