Задача 55396

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB₁ и CC₁ на прямую, проходящую через точку A.
Докажите, что треугольники HB₁C₁ и ABC подобны.

Подсказка

Точки A, B₁, B, H лежат на одной окружности.

Решение

  Пусть треугольник ABC остроугольный. Поскольку точки B₁ и B лежат на окружности с диаметром AH, то  ∠C₁B₁H = ∠AB₁H = ∠ABH = ∠B.
  Аналогично  ∠B₁C₁H = ∠C.
  В случае, если треугольник ABC не остроугольный, доказательство существенно не отличается от приведённого.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4715