ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55404
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что CK = BL = $ {\frac{a+b-c}{2}}$, где a, b, c — длины сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC.


Также доступны документы в формате TeX

Подсказка

Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны между собой.


Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть M и N — точки касания вписанной окружности со сторонами AB и AC соответственно. Тогда

c = BM + AM = BK + AN = a - CK + b - CN = a - CK + b - CK.

Поэтому CK = $ {\frac{a+b-c}{2}}$.

С другой стороны, если P и Q — точки касания вневписанной окружности с продолжением сторон AB и AC соответственно, то

BP + CQ = BL + CL = BC = a.

Поэтому

AP = AQ = $\displaystyle {\frac{a+b+c}{2}}$BL = BP = AP - AB = $\displaystyle {\frac{a+b+c}{2}}$ - c = $\displaystyle {\frac{a+b-c}{2}}$.


Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4724

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .