Задача 55412

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Диагонали четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке E. На прямой AC взята точка M, причём  ∠BME = 70°,  ∠ADB = 50°,
∠CDB = 60°.  Где расположена точка M: на диагонали AC или на её продолжении?

Подсказка

Внешний угол треугольника меньше внутренного, не смежного с ним.

Решение

  Если точка M лежит на луче AC, то B и M лежат по одну сторону от прямой AB. Так как  ∠BME > ∠ADB,  то M лежит внутри описанной окружности четырёхугольника ABCD, то есть на отрезке AC.
  Аналогично рассматривается случай, когда точка M лежит на луче CA.

Ответ

На диагонали AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4732