Информация о задаче

Задача 55656

Темы:	[	Композиции симметрий	]
Темы:	[	Произвольные многоугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны прямые l₁, l₂, ..., l_2n, пересекающиеся в одной точке. Блоха сидит в некоторой точке M плоскости и прыгает через прямую l₁, попадая в точку M₁, причём M и M₁ симметричны относительно прямой l₁, далее — через прямую l₂ и т.д. Докажите, что если через 2n прыжков блоха оказалась в точке М, то, начиная движение из любой точки плоскости, через 2n прыжков блоха окажется на прежнем месте.

Подсказка

Композиция двух симметрий относительно пересекающихся осей есть поворот на угол, равный удвоенному углу между этими осями.

Решение

Из условия задачи следует существование 2n-угольника M₁...M_2n, (M_2n = M), для которого прямые l₁, l₂, ..., l_2n — серединные перпендикуляры к сторонам MM₂, M₂M₃, ..., M_2nM соответственно.

Если $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ... $\alpha_{2n}^{}$ — величины углов между прямыми l₁ и l₂, l₂ и l₃, ..., l_2n и l, содержащих вершины M₂, M₃, ..., M, то

$\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + $\displaystyle \alpha_{3}^{}$ +...+ $\displaystyle \alpha_{2n-1}^{}$ = 180^{o .}k,

где k — целое, поскольку композиция симметрий относительно данных прямых l₁, l₂, ..., l_2n есть тождественное преобразование (точка M остается на месте), т.е. поворот на угол, кратный 360^o.

С другой стороны, композиция симметрий относительно прямых l₁ и l₂ есть поворот вокруг их точки пересечения на угол 2 $\alpha_{1}^{}$ , композиция симметрий относительно прямых l₃ и l₄ — поворот вокруг той же точки на угол $\alpha_{3}^{}$ и т.д. Следовательно, в каком бы начальном положении блоха ни находилась, после 2n прыжков она окажется на прежнем месте.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5110