ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55658
УсловиеДан треугольник ABC, O — центр его описанной окружности, O1, O2 и O3 — точки, симметричные точке O относительно прямых AB, BC и AC. Докажите, что середины сторон треугольника O1O2O3 лежат на окружности девяти точек треугольника ABC.
ПодсказкаДокажите, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон треугольника и в середине одной из сторон треугольника O1OO3 — вписанный.
РешениеПусть A1, B1 и C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB, A2 — середина отрезка O1O3. Поскольку A2C1 и A2B1 — средние линии треугольника O1OO3, то A2C1OB1 -- параллелограмм. Поэтому
C1A2B1 = C1OB1 = 180o - A = 180o - C1A1B1.
Тогда
C1A2B1 + C1A1B1 = 180o.
Следовательно, точка A2 лежит на описанной окружности
треугольника
A1B1C1, т.е. на окружности девяти точек треугольника
ABC. Аналогично для точек B2 и C2.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|