Задача 55680

Темы:    [ Композиции симметрий ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

ABC — данный разносторонний треугольник, A₁, B₁, C₁ – точки касания его вписанной окружности со сторонами BC, AC, AB соответственно, A₂, B₂, C₂ — точки, симметричные точкам A₁, B₁, C₁ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника ABC. Докажите, что A₂C₂ || AC

Подсказка

Воспользуйтесь тем, что точки C₂ и A₂ переходят в точку B₁ при композициях симметрий относительно двух биссектрис.

Решение

Пусть O — центр вписанной окружности. Тогда точка B₁ переходит в точку C₁ при симметрии относительно прямой AO, C₁ — в C₂ при симметрии относительно CO. Поэтому

B₁OC₂ = 290^o - B = 180^o - B.

Аналогично B₁OA₂ = 180^o - B.

Таким образом, B₁OC₂ = B₁OA₂ и точки A₂ и C₂ симметричны относительно прямой B₁O. Следовательно, A₂C₂ || AC

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5140