Задача 56507

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃ и O₄ – центры ромбов, построенных на сторонах AB, BC, CD и DA, M – середина диагонали AC. Тогда  MO₁ = MO₂  и  ∠O₁MO₂ = α  (см. задачу 56505). Аналогично  MO₃ = MO₄  и  ∠O₃MO₄ = α.  Следовательно, при повороте на угол α относительно точки M треугольник O₁MO₃ переходит в O₂MO₄.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	4
Название	Вспомогательные равные треугольники
Тема	Подобные треугольники (прочее)
задача
Номер	01.051